相对论基础

4.1 狭义相对论基本原理、洛伦兹变换

狭义相对论两条基本原理：

  1. 相对性原理。物理定律在一切惯性参考系中都具有相同的数学表达形式，也就是说，所有惯性系对于描述物理现象都是等价的。
  2. 光速不变原理。在彼此相对作匀速直线运动的任一惯性参考系中，所测得的光在真空中的传播速度都是相等的。
    洛伦兹变换：
    （坐标系 ​K^{\prime} 以速度 ​u 相对坐标系 ​K 作匀速直线运动）
\begin{aligned} \mathrm{x}^{\prime}&=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^{2}}}\\y^{\prime}&=y\\z^{\prime}&=z\\t^{\prime}&=\frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^{2}}} \end{aligned}

或者

\begin{aligned} \mathrm{x}&=\frac{x^{\prime}+ut^{\prime}}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^{2}}}\\y&=y^{\prime}\\z&=z^{\prime}\\t&=\frac{t^{\prime}+\frac{ux^{\prime}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^{2}}} \end{aligned}

4.2 相对论速度变换

相对论速度变换公式：

\begin{align} \\ v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-\frac{u}{c^{2}}v_{x}}\\ v_{y}^{\prime}=\frac{v_{y}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\frac{u}{c^{2}}v_{x}}\\ v_{z}^{\prime}=\frac{v_{z}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\frac{u}{c^{2}}v_{x}} \end{align}

逆变换：

\begin{align} v_{x}=\frac{v_{x}^{\prime}+u}{1+\frac{u}{c^{2}}v_{x}^{\prime}} \\ v_{y}=\frac{v_{y}^{\prime}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1+\frac{u}{c^{2}}v_{x}^{\prime}} \\ v_{z}=\frac{v_{z}^{\prime}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1+\frac{u}{c^{2}}v_{x}^{\prime}} \end{align}

4.3 狭义相对论的时空观

同时的相对性：在某个惯性系中同时发生的两个事件，在另一个相对它运动的惯性系中，不一定同时发生。
经典例子动钟变慢 ​t=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}，动尺缩短 ​l^{\prime}=l_{0}\sqrt{1-\beta^{2}}。

4.4 狭义相对论动力学基础

由于牛顿第二定律对于洛伦兹变换不是不变式，因此需要找到新的公式。
相对论质量有：

m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}

其中 ​m_{0} 为静止质量。
相应，相对论力学修改为：

F=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\boldsymbol{v}\right)

接下来考虑质量和能量的关系。可以得到爱因斯坦质能方程 ​E=mc^{2},E_{0}=m_{0}c^{2}。
然后考虑动量和能量的关系。整理可得 ​E^{2}=c^{2}p^{2}+E_{0}^{2}=c^{2}p^{2}+m_{0}^{2}c^{4}。