使用书籍为格里菲斯量子力学中文翻译版第三版，是考研的时候自用的一些小知识点总结，还有一些做题心得，以及页码标注定位。

自用倾向强，但如果能对别人有用也挺好的。

文章内容很可能有错误，欢迎交流。

第一章波函数

埃伦费斯特定理：

\frac{\mathrm{d}\left\langle p\right\rangle}{\mathrm{d}t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle

动量期望值可以直接计算：

\langle p\rangle=m\frac{\mathrm{d}\left\langle x\right\rangle}{\mathrm{d}t}

.
10. 感觉有点简单算了吧。
11. 没记住反三角函数求导。招笑。
12. p 表象果然还是太深遂了。
13. 有老鼠不写。
14. 零件都有但是没拼起来。只能说含时也能大胆微。第二问就是 0 啊。
15. 秒了秒了。
16. 积分算错了就很搞笑。
17. 时刻记得共轭。第二问如此简单。
18. 先不写。

第二章定态薛定谔方程

一维无限深方势阱（0<x<a）相关：
能量本征函数和能量本征值

\begin{aligned}&\psi_{n}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\quad0<x<a,\quad n=1,2,3,\cdots,\\&E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.\end{aligned}

若(

-a<x<a

)

\begin{aligned}&\psi_{n}\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\left[\frac{n\pi}{2a}\left(x+a\right)\right],\quad-a<x<a,\quad n=1,2,3,\cdots,\\&E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m\left(2a\right)^{2}}.\end{aligned}

一维谐振子能量本征函数和能量本征值

\psi_{n}\left(x\right)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}H_{n}\left(\xi\right)\mathrm{e}^{-\xi^{2}/2},\quad\xi\equiv\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x;E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,n=1,2,3,\cdots.

产生算符湮灭算符

\hat{a}_{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(m\omega\hat{x}\mp\mathrm{i}\hat{p}\right)

和哈密顿算符的关系

\hat{H}=\hbar \omega\left( \hat{a}_{-}\hat{a}_{+}-\frac{1}{2} \right)

对易子

[\hat{a}_{-},\hat{a}_{+}]=1

然后有公式：

\psi_{n}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}a_{+}\psi_{n-1}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a_{+}\right)^{n}\psi_{0}\left(x\right)

自由粒子含时波函数：

\Psi_{k}\left(x,t\right)=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(kx-\frac{\hbar k^{2}}{2m}t\right)}

其中 k=\frac{\sqrt{ 2mE }}{\hbar}，且 p=\hbar k。
自由粒子的含时解只有波包，即线性叠加解

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\int^{\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^{2}}{2m}t)}dk

以及系数计算，其实就是傅里叶变换

\phi\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\left(x,0\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x

\delta 函数势阱束缚态

\delta 函数势阱散射态

一维有限深势阱

自由粒子波函数

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(kx-\frac{\hbar k^{2}}{2m}t\right)}\mathrm{d}k

其中

\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x

有提示所以能秒。
能秒。
大概能秒。
好恶心的计算。还算不对。: (
感觉就是答案乱写。气。以及计算很多。
上一题的扩展版本。波函数相位的作用。
无限深势阱波函数由 \psi(x,0) 变为 \psi(x,t) 直接加时间项（e^{\frac{-iE_{n}t}{\bar{h}}}）需要在初始波函数变为标准形态，即 \sin 的组合。
秒了。但是概率忘记平方了。
秒了。直接算比物理手段简单，哄堂大笑了。
什么？动量算符前面原来有负号。
虽然答案结果是对的但是感觉这里答案也有点问题。最简单的奇函数积分为 0 也忘了。忘记一切。不太想算了。想练练高斯积分计算能力可以再来。注意题干小技巧：如果引入变量 \xi \equiv \sqrt{m\omega/\hbar}x 和 \alpha \equiv [m \omega / (\pi \hbar)]^{1/4} 可以简化问题。以及平均动能 \langle T \rangle = \frac{1}{2 m} \left\langle p^2 \right\rangle 和平均势能 \langle V \rangle = \frac{1}{2} m \omega^2 \left\langle x^2 \right\rangle（谐振子）。
即用升降算符表示 x 和 p，然后再利用正交性解决。以及 a_+\psi_n=\sqrt{n+1}\psi_{n+1},\quad a_-\psi_n=\sqrt{n}\psi_{n-1}.
茴字有四种写法，动量均值有三种解法。以及原来还能这样 \left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle=-m\omega^2\left\langle x\right\rangle.
不太好积分，先跳了吧。
也... 不算了吧。主要能记住厄米多项式递推公式就能写。
这个也怪怪的; ;关于厄米多项式的非常有用定理。但不想写。
题目能秒，但是提示还挺有意思的，指数形式表示行波因此多用于自由粒子，而正弦余弦形式对应驻波因此多用于无限深方势阱。
几率流计算公式老记不得，剩下的问题不大。 J\left(x,t\right)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}\left[\Psi\left(x,t\right)\frac{\partial\Psi^{*}\left(x,t\right)}{\partial x}-\Psi^{*}\left(x,t\right)\frac{\partial\Psi\left(x,t\right)}{\partial x}\right]
普朗克尔定理，好像不怎么重要，随便写写。
留数定理，忘光光，该学。
看了提示也没解出来 b 题，我的数学完蛋啦^ ^！是比较有趣的配凑，重点是把微分量的无关项剔除，并且剩下的项合并为一个平方。积分式定式为 \int^{\infty}_{-\infty}e^{-(ax^{2}+bx)}dx。
\delta 函数数学积分，简单小练习，秒了。
仍然是数学。
纯粹的计算。对于 \exp(|x|) 的二次导数相关的处理，x=0 的部分应该单独用 \lim_{ n \to 0 } 表示，作为阶跃函数处理。
不是消消乐，得利用物理关系。
数学证明可以秒掉，但是据题目说“如果细心对待 \delta\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x 将是及其有用的”。P 63

第三章形式理论

广义埃伦费斯特定理：

\frac{d}{dt}\langle Q\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat{H},\hat{Q}]\rangle+\langle \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t}\rangle

不太好推导的对易子小公式：

[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}

一些数学方面的小证明，内积条件等等，先跳过。
是否在希尔伯特空间的判定条件居然是 \langle f|f\rangle <\infty？总之还是一些神秘小数学。
有提示所以能秒。不过不失一般性才是对的。
秒了大半。最后原来是分部积分。
晕晕。这解析对吗。
有例题所以能秒。注意简并。
前面秒了。但是对称化和反对称化构造？
？不知道提示和题目的关系是什么。不同本征值的本征函数正交为什么就能证明厄米算符的本征值是实数。
问答题。
秒了。
Mathematica 先跳了。
明明手算过动量算符的本征函数但知道这道题都还是没反应过来。到底在写什么。函数头中的自变量起指示意义而非计算意义，表象变换并非直接改函数头。直接套公式算也是可行的。
配套习题解写的依托，建议不看。重点是求 \langle X\rangle 的时候前后的两个 \Psi 里面的 p 可以加以区分为 p 和 p'，这样就可以最后把积分全部提到最外面了，反正最后可以通过 \delta 函数把两个 p 融合回去。以及注意 \delta 函数特性 \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)。
A.像概率论中的什么证明，总之就是凑，但想不到怎么凑。B.对易子无非就是在外面多套一个虚假的作用函数，有魔法效果。对易子作用于一个函数的话，即使有已经微分的部分也能波及到。大概。C.数学归纳法熟练度 up。D.硬算没算出来，顺从答案。又忘记哈密顿算符可以拆成升降算符了，升降算符的对易子也忘记了，忘记一切。
书上是技巧教程，网页有硬算教程。注意 \frac{d^{2}}{dx^{2}}[F(x)G(x)]=\frac{d}{dx}\left[ \frac{dF(x)}{dx}G(x)+F(x)\frac{dG(x)}{dx} \right]，得分开算。
讨厌概念证明，但是有提示所以能秒。
原来 e^{x} 类函数配不出来的原因是少一个常数项。
算式子好说，但是这个对式子导出的守恒的解释比较有意思。量子力学中的牛顿运动方程说是。
仍然没看懂解析是在证明什么，量子力学中的牛顿第一定律说是。那么，网页吧，量子力学中的牛顿第二定律说是 m \frac{d^{2}\left\langle x\right\rangle}{dt^{2}}=\langle- \frac{dV}{dt}\rangle。
非常长非常讨厌的计算，我先跳一下。
1 P 159
1
秒了大半。

第四章三维空间中的量子力学

球坐标系拉普拉斯算符

\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}\right)

角方程

\frac{1}{Y}\left\{\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin\theta^{2}}\frac{\partial^{2}Y}{\partial\phi^{2}}\right\}=-\ell\left(\ell+1\right)

解为球谐函数，都是 \theta 的缔合勒让德函数害的。
径向方程

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}r^{2}}+\left[V+\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\ell\left(\ell+1\right)}{r^{2}}\right]u=Eu

用 rR(r) 整理后，方程形式为一维薛定谔方程加离心项。
基态波函数

基态能量

E_{n}=-\frac{Z^{2}e^{2}}{2an^{2}}

其中 a=\frac{\hbar^{2}}{\mu e^{2}}。

秒了 a。但是 b 题答案完全就是耍赖。说好的先验证三维情况下成立呢。
理论上仔细算一下比较严谨，但是脑算也能秒。
公式抄错了所以写错了就算我能秒拜托了。
注意正交性和归一性不是一个东西别想一块就跳过去了，以及注意球坐标系积分微元，老写错。其他的套公式就完了。
计算很简单。解释的话就是物理特色的缘故。
秒了。
神秘计算。
前有数学，所以先跳吧。
有算符的平方，万万小心。
计算就是套公式，但是画图就算了吧。
有限深球势阱。套路还是大概知道的。
套公式递推，秒了。
又是球坐标系，又被球坐标系积分微元伤到。剩下的秒了。
无脑套公式，就是这题递推的要求是不是有点远了？总之后面懒得算了。
计算，且避坑指南全在提示里。
计算最概然值。最概然指机率最大处。平方得到概率，不要的积分，需要的乘以微元，最后再求导。
硬算还是太恐怖了。看看提示和答案逃课一下。
答案似乎缺了 \frac{1}{\sqrt{ 2 }}。
类氢原子的代换为 e ^{2}\rightarrow Ze ^{2}，Z 为质子数。P 222
基本是代换就行。以及一个其实不太会算的可爱巧合。
这个题目很重要：L_{+}f_{\ell}^{m}=(A_{l}^{m})f_{\ell}^{m+1},\quad L_{-}f_{\ell}^{m}=(B_{\ell}^{m})f_{\ell}^{m-1} 且 A_\ell^m=\hbar\sqrt{\ell\left(\ell+1\right)-m\left(m+1\right)}=\hbar\sqrt{\left(\ell-m\right)\left(\ell+m+1\right)}，B_{\ell}^{m}=\hbar\sqrt{\ell\left(\ell+1\right)-m\left(m-1\right)}=\hbar\sqrt{\left(\ell+m\right)\left(\ell-m+1\right)}。倒是不难证明毕竟有提示，不过我没证出来就是了 orz。
对易总是简单的。能秒。第四问硬算有点棘手，网页有完整过程。
埃伦费斯特定理什么什么的。不过 b 题证明时的数学表述有点不懂。
问题根本不在试探函数而是多项式夹杂的单项式也是不能换位置的啧。然后就是三角函数的问题，记得 \csc ^{2}-\cot ^{2}=1 这些冷门小众公式就行。
简单的微分方程都解不对就有点招笑了。
秒了。简单的升降算符小应用。
前面可以看下答案但是后面比较阿巴。但是既然是二星题那么是不是可以暂时放过一下...？
用的是球体的转动惯量。普物忘完了。
朴实无华的计算，随便写写算了。
朴实无华的基础题，随便写写算了。
朴实无华的计算，随便写写算了。有一些 a^{*}b+b^{*}a 之类的数学处理小技巧，但是没懂（）
P 235

第五章全同粒子

数学微分，晕晕。关于相互作用势的大小仅依赖与两粒子间相对位移的计算。感觉数学概念还是不太熟练。
试着写了一下但是不行。前面的区域以后再来探索吧。
别忘了谐振子的 \omega 是有公式的，\nu= \frac{\Delta n}{2\pi}\sqrt{ \frac{k}{\mu} }。
秒了。
秒了。那人却在灯火阑珊处。总之注意积分微元的含义就好。
相当计算爽并非的一道题，很多个项。注意总波函数得是归一化后的。以及犯了点儿小错误，一维无限深势阱的本征函数处于不同态下要改变 \sin \frac{n\pi x}{a} 里面的 n 才对，感到大脑对此光滑地过去了。
这个计算就太过分了。看个答案然后跳了。但是感觉答案有点小问题？
居然是要把所有组合都写一遍。费米子符号则是看指标。
有趣的概念类题目。但是感觉有一些问题仍待明晰。~~包括答案的表示方式完全没见过所以不知道在说什么~~看完第十题可懂，以及为何半整数自旋的粒子为费米子，但是怎么给我干量子场论去了，我会吗。
思考，a 题如果相互不正交的话为什么系数要发生改变呢？虽然感觉还是不太懂但是总之分为空间波函数的交换对称和自旋波函数的交换对称问题？
特化 2 星题配上特化的随便写写然后看答案大法。
一道概念问题，但总觉得答案没有好好回答。
给我干原子物理去了。
玻色子，但是自旋为 \frac{1}{2}，问题多少沾点左右脑互博。总之这样的话就是空间波函数和自旋波函数全部对称或全部反对称来考虑。话说可分辨粒子也能这么玩吗？
跟着提示和答案学学计算处理方式。有点小复杂的计算。
写了第十题的话这题可以抄结论。
朴实无华原子物理。
洪德定则相关。话说 L 的值是 m_{l} 的和...?
好家伙这种题还真不太会。明明应该是固体物理的知识。P 343

第六章对称性和守恒律

话说 b 题这个极坐标下宇称算符只有这一种表达形式吗？把 r 变成负数不也？如果说有多种表达那岂不是只能带入证明？虽然这题大概是方便 c 题的证明。
居然是泰勒。“针对指数算符的问题，一般将其写成求和形式才能便于算符的运算”。顺便怎么给我干到习题 3.29 去了。
算符可以展开都不记得了。乐。
遇到算符夹变量的 n 次方形式的处理方式，原来可以插入幺正算符来展开，和导数那种不太一样。学到了新的算符证明方式。自己写是不会写一点的。
啊？这是在证什么？
有老鼠，跑了。
不会。但是原来又是泰勒，我就说 e 指数何时来的。不过 \psi(x_{1},x_{2}) 这种形式的泰勒还真不太会展。然后证明总动量守恒，“首先证明哈密顿量是平移不变的，然后通过平移算符与动量的关系来得到哈密顿量与动量的关系”。注意平移算符作用于哈密顿量之类的要记得改变导数微元。感觉扯到总动量守恒就离不开广义埃伦费斯特定理，所以一般是先证明算符和哈密顿量对易。总之全部都不会 >v<。
所以说我讨厌证明。
只需要算一遍就能得到结果的证明除外。
再次强调了宇称的正确食用方式。
有前面的示例所以简单的。“可以用于赝矢量和’真‘标量算符”。
居然有矩阵的事情。不过带入就行。
对哦，单电子的态可以是线性组合的。具体值是怎么得出来的有点没懂？

第七章定态微扰理论

一阶微扰能量

{E_{n}^{1}=\langle\Psi_{n}^{0}\mid H^{\prime}\mid\Psi_{n}^{0}\rangle}

一阶微扰波函数

\psi_{n}^{1}=\sum_{m\neq n}\frac{\langle\psi_{m}^{0}\mid H^{\prime}\mid\psi_{n}^{0}\rangle}{(E_{n}^{0}-E_{m}^{0})}\psi_{m}^{0}

二阶微扰能量

E_{n}^{2}=\sum_{m\neq n}\frac{\mid\langle\psi_{m}^{0}\mid H^{\prime}\mid\psi_{n}^{0}\rangle\mid^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}

由于 m\neq n，因此上式要求非简并。
在简并微扰情况下，加上微扰会使得简并的态变得不简并。

格里菲斯习题解笔记